9.调和函数

调和函数：如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称二元函数f(x,y)为区域Ω中的调和函数。

首先需要说明什么是连续

eg:

1/x    ->x不能取0

lnx    ->x需要大于0

这些有不能取的值的就是不连续函数

调和函数首先需要满足其关于x,y的二阶偏导均为连续

u(x,y)=x²+xy³

u'x=2x+y³

u'y=3xy²

u'x'x=2         ->连续

u'y'y=6xy     ->连续

u'x'y=3y²     ->连续

u'y'x=3y²     ->连续

其次，需要满足 u'x'x+u'y'y=0

u'x'x+u'y'y≠0    ->不符合条件，故而该函数不是调和函数

eg:

u(x,y)=x³-6x²y-3xy²+2y³

证明调和函数，需要经过2次判断

1、证明其二阶偏导数连续

u'x=3x²-12yx-3y²

u'y=-6x²-6xy+6y²

u'x'x=6x-12y

u'x'y=6x-12y

u'y'y=-6x+12y

u'y'x=-12x-6y

2、如果u'x'x+u'y'y=0，则函数为调和函数

u'x'x+u'y'y=6x-12y-6x+12y=0    ->该函数为调和函数

共轭调和函数的计算

v(x,y)=∫u'_xdy+∫[-u'_y-(∫u'_xdy)'_x]dx+C

已知调和函数和共轭调和函数，->解析函数

①    计算f(x)=u(x,0)+iv(x,0)

②    将①中的x换成z